Maioria simples
Conte só os 1º lugares. Ganha quem tiver mais.
Quem ganha a eleição do grêmio?
30 alunos votaram para o grêmio da escola. Qual das 4 chapas ganhou?
- A Agita
- B Bora
- C Conecta
- D Diálogo
Os votos
Cada aluno pôs as 4 chapas em ordem, da preferida (1º) até a que ele menos quer (4º). Quem votou igual ficou no mesmo grupo. Essa lista de grupos é o perfil de preferências da turma.
Comece pelo painel de tarefas: aposte e conte os votos de quatro jeitos. Depois, os grupos abrem: mude quantos alunos há em cada grupo e toque numa chapa para subir ela um lugar naquele grupo.
Os grupos ficam travados até você contar os votos pelos quatro métodos, nas tarefas 1 a 4 do painel.
Vencedores agora
Qual chapa ganhou?
Olhe os quatro grupos e aposte antes de contar.
Faça seu palpite primeiro. O botão Contar os votos abre quando você registrar.
O cartão da maioria simples apareceu logo abaixo dos grupos. Há outros jeitos de contar os mesmos votos: toque em Próxima.
Dois turnos
Ninguém tem mais da metade dos 1º lugares (mais de 15), então as duas mais votadas, A e B, vão ao 2º turno. Nele, cada aluno vota em quem ele pôs mais acima entre A e B.
Quantos dos 30 alunos votam em B no 2º turno?
Contagem de Borda
Na contagem de Borda, cada aluno dá pontos para as 4 chapas: 3 para o 1º lugar, 2 para o 2º, 1 para o 3º e 0 para o 4º. Ganha quem somar mais.
Quantos pontos a chapa C soma?
Em cada grupo, veja o lugar de C e multiplique os pontos desse lugar pelo número de alunos. No grupo 1, C é 3ª: 12 × 1 = 12. Depois some os quatro grupos.
Confronto direto
No confronto direto, as chapas se enfrentam duas a duas, e cada aluno vota em quem ele pôs mais acima entre as duas. Ganha quem vencer todas as outras.
No confronto entre C e D, quantos alunos votam em cada uma?
Campanha da C
Subir uma chapa um lugar num grupo pode mudar o vencedor. Qual destas trocas, feita nos votos do início, faz C ganhar por 3 dos 4 métodos?
Esta tarefa abre depois que você contar pelos quatro métodos, nas tarefas 1 a 4.
Ninguém vence todas
Ache um perfil em que nenhuma chapa vence todas as outras no confronto direto, sem empate em nenhum confronto. Pode deixar grupos com 0 alunos.
Quatro jeitos de contar
Dois turnos
Com mais da metade dos 1º lugares, ganha direto. Se não, as duas primeiras vão ao 2º turno.
Contagem de Borda
1º lugar vale 3 pontos, 2º vale 2, 3º vale 1 e 4º vale 0. Ganha quem somar mais.
Confronto direto
Compare as chapas duas a duas. Ganha quem vencer todas as outras no um contra um.
Ver todos os números em tabela
| Chapa | 1º lugares | Pontos de Borda | Confrontos vencidos |
|---|
Confrontos um contra um
| Confronto | Votos | Resultado |
|---|
O que está acontecendo
Esta parte abre quando você terminar de contar pelos quatro métodos, nas tarefas 1 a 4 do painel.
Os votos foram os mesmos nos quatro cartões. O que mudou foi a regra de contagem. Com o perfil do início (grupos de 12, 8, 5 e 5 alunos), cada regra elegeu uma chapa diferente:
- Maioria simples. A tem 12 primeiros lugares, B tem 8, C e D têm 5 cada. A ganha, mesmo sem ter a metade dos votos.
- Dois turnos. Mais da metade de 30 é mais de 15, e ninguém chegou lá. A e B vão para o 2º turno, e cada aluno escolhe a que ele pôs mais acima. 18 alunos preferem B a A, e B ganha por 18 a 12. É o sistema das eleições para presidente e governador no Brasil.
- Contagem de Borda. Ela dá pontos por posição: 3 para o 1º lugar, 2 para o 2º, 1 para o 3º e 0 para o 4º. C soma 53 pontos, D soma 52, B soma 39 e A, 36. C só é a primeira de 5 alunos, mas aparece em 2º ou 3º lugar para todos os outros.
- Confronto direto. 18 alunos põem D acima de A, 17 põem D acima de B e 17 põem D acima de C. D vence as outras três no um contra um. Uma chapa assim é a vencedora de Condorcet.
Olhe de novo para a chapa A. Ela tem mais primeiros lugares que qualquer outra, e mesmo assim 18 dos 30 alunos puseram A em último. No confronto direto, A perde para todas.
Então qual método é o justo? Em 1951, o economista Kenneth Arrow provou que, com três candidatos ou mais, nenhum método que usa a ordem de preferência dos eleitores cumpre ao mesmo tempo todas as regras de justiça que parecem óbvias. Escolher o método é escolher qual regra você aceita quebrar.
A meta do desafio está no painel de tarefas, ao lado dos grupos.
Para o professor
Objetivo
Ao final, o aluno consegue contar um mesmo perfil de preferências por maioria simples, dois turnos, contagem de Borda e confronto direto, e explicar com um exemplo por que o método escolhido pode mudar o vencedor. A ideia é tirar a eleição do lugar de "o resultado é o que o povo quer" e mostrar que a regra de contagem também decide.
Pré-requisitos
Soma e multiplicação de números naturais pequenos, comparar números, saber o que é "mais da metade" e ler uma tabela. Não há fórmula.
Como usar em aula
Projete o perfil de preferências e peça que cada aluno escreva no caderno qual chapa ganhou e por quê (5 minutos). Faça a turma votar levantando a mão nas opções A, B, C e D e marque a aposta mais votada; registre esse palpite na tarefa 1 do painel e toque em Contar os votos, que abre só o cartão da maioria simples. As tarefas 2 a 4 pedem uma conta cada uma (votos de B no 2º turno, pontos de Borda da C, confronto entre C e D): deixe a turma fazer no caderno, em duplas, e só então digite a resposta mais comum (10 minutos). O cartão do método abre quando a conta está certa, ou pelo Mostrar a conta depois de uma tentativa. Leia a explicação juntos e termine com a tarefa 5, em que a turma escolhe uma troca antes de testar (5 minutos). A tarefa Para ir além, do paradoxo de Condorcet, serve para o ensino médio e para quem termina antes.
Erros comuns
Achar que existe um vencedor verdadeiro e que a contagem só confirma: aparece na aposta, quando o aluno defende a chapa dele como "a certa". Achar que mais primeiros lugares quer dizer preferida da maioria: pergunte quantos alunos puseram A em último. Achar que no dois turnos sempre ganha quem liderou o 1º turno. Confundir pontos com votos na contagem de Borda: o aluno diz que C "teve 53 votos", ou responde 8 na tarefa 3 porque somou os pontos dos lugares sem multiplicar pelo número de alunos. No confronto direto, contar só os 1º lugares (5 a 5). Achar que o confronto direto sempre tem vencedor: a tarefa Para ir além leva ao ciclo em que cada chapa perde para outra, como pedra, papel e tesoura. Esquecer que "mais da metade" depende do total quando as quantidades mudam.
No livro, o segundo método é o ranked-choice (corta o último colocado rodada a rodada). Aqui ele virou o dois turnos brasileiro, em que o 2º turno é recontado com as mesmas preferências.
Perguntas para discussão
- Qual método você usaria no grêmio da nossa escola? Que argumento você daria para a turma?
- A chapa A tem mais primeiros lugares e é a última para a maioria. Ela merece ganhar?
- Na contagem de Borda, por que 3, 2, 1 e 0? O que mudaria com 10, 2, 1 e 0?
- Se você soubesse o método antes da eleição, mudaria seu voto para ajudar sua chapa?
- Por que o Brasil usa dois turnos para presidente, e não maioria simples?
Baseado em Contemporary Mathematics, OpenStax, seções 11.1 e 11.2, sob licença CC BY-NC-SA 4.0. Este ODA está sob a mesma licença. Acesse o livro gratuitamente em openstax.org.