A caixa que cabe mais

Objetivo

Ao final, o aluno consegue achar o corte que faz a caixa de maior volume com uma folha cortada nos cantos, calculando o volume de cada corte testado e explicando por que cortar pouco ou cortar muito dá menos. É uma aplicação do volume de prisma reto (área da base vezes altura) da seção 10.7, num problema de otimização resolvido sem derivada, só testando.

Pré-requisitos

Multiplicação e subtração com decimais, a ideia de volume como quantidade de cubos de 1 cm³ e a leitura de pontos num plano cartesiano. A expressão do volume com $x$ aparece só em Para ir além, a última tarefa do painel, para quem já trabalha com expressões algébricas.

Como usar em aula

Uns 25 minutos. Se der, comece com uma folha A4 ou de papelão de verdade e uma tesoura: corte um quadrado de cada canto na frente da turma e dobre (2 min). Projete o ODA e peça que cada aluno, ou cada dupla, escreva o palpite num papel antes de registrar: se o volume só sobe, só desce ou sobe e depois desce, e qual corte dá mais (3 min). Deixe a turma mexer no Corte por 7 minutos, com uma pergunta no quadro: "o que acontece com a altura e com o fundo quando o corte aumenta?". Pare e colete os melhores volumes encontrados; peça para alguém ler em voz alta a conta de 4 cm (22 × 12 × 4). Leia com a turma "O que está acontecendo" e a pergunta de conferência (5 min). Feche com as tarefas 2 e 3 do painel, a folha quadrada e os dois cortes perto de 1.000 cm³ (8 min).

Erros comuns

Muitos alunos chutam um corte pequeno ("sobra mais papelão") ou um corte grande ("fica mais alta"). O palpite registrado deixa isso visível: compare os palpites da turma com o gráfico. Outro erro é tirar o corte de um lado só e dizer que o comprimento é 30 − 4 = 26 cm; a pergunta de conferência dá feedback para esse caso (resposta 14 em vez de 8), e a folha planificada mostra os dois quadrados de cada lado. Há também quem ache que a mesma folha dá sempre o mesmo volume, porque o papelão é o mesmo; os números do ODA vão de 275,5 cm³ a 1.056 cm³ com a mesma folha. Por fim, alguns concluem que 4 cm é sempre o melhor corte. Na folha quadrada de 30 cm × 30 cm o melhor é 5 cm (2.000 cm³), e lá o corte de 4 cm dá 1.936 cm³; com outra folha, como 40 cm × 30 cm, o melhor fica perto de 5,7 cm.

Perguntas para discussão

• Por que o corte não pode chegar a 10 cm na folha de 30 cm × 20 cm?
• Os cortes de 3 cm e 5 cm dão 1.008 cm³ e 1.000 cm³. Qual das duas caixas você usaria para guardar lápis de cor? E para guardar um caderno?
• Na folha quadrada de 30 cm, o melhor corte é 5 cm, que é um sexto do lado. Testem no papel com uma folha quadrada de 12 cm: o melhor corte continua sendo um sexto do lado?
• Quando o corte aumenta, a área de papelão que vira caixa aumenta ou diminui? E o volume?
• Se você fosse vender caixas e o papelão custasse por centímetro quadrado, ainda escolheria o corte de maior volume?