Que formas cobrem o chão?
Com peças iguais, de qual forma dá para cobrir um chão sem deixar buraco?
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A bolinha é o ponto do chão. Cada peça mostra o ângulo do canto que encosta nele. buraco peça por cima
Teste as cinco formas
As peças são regulares: lados iguais e cantos iguais. Escolha uma forma embaixo do desenho. Antes da primeira peça, aposte quantas delas fecham a volta inteira, sem buraco e sem peça por cima. Depois toque na forma uma vez para cada peça.
Se acha que sempre sobra buraco ou passa, toque em Não fecha.
| Forma | Em volta do ponto | Cobre sozinha? |
|---|
Misture duas formas
Misturando formas diferentes no mesmo ponto, aparecem outros jeitos de cobrir o chão. Monte uma volta com pelo menos duas formas que feche em 360° e cubra o chão todo.
As peças entram na ordem em que você toca, girando em volta do ponto. Este chão é separado do chão da tarefa 1.
Um polígono de 12 lados
Um polígono regular de 12 lados tem cantos de . Dois deles e mais uma peça da lista fecham a volta em um ponto. Qual peça?
O que está acontecendo
Em volta de um ponto do chão, os cantos das peças precisam somar exatamente 360°, uma volta inteira. Se somam menos, sobra buraco. Se somam mais, uma peça fica por cima da outra.
O resto desta explicação abre quando você terminar a tarefa 1, para não estragar seus palpites.
O ângulo do canto de um polígono, medido por dentro, é o ângulo interno. Os do triângulo (60°), do quadrado (90°) e do hexágono (120°) cabem um número inteiro de vezes em 360°: 6, 4 e 3 vezes. O do pentágono regular (108°) não: 3 pentágonos dão 324° e deixam um buraco de 36°, e o quarto já passa. Com o octógono (135°) é a mesma coisa. Por isso só triângulo, quadrado e hexágono regulares cobrem o chão sozinhos.
Isso vale para pentágonos regulares. Um pentágono que não é regular pode cobrir o chão: a casinha do desenho tem cantos de 90°, 90°, 135°, 90° e 135°, e em cada ponto os cantos somam 90° + 90° + 90° + 90° ou 135° + 135° + 90°, sempre 360°.
Cobrir o chão com peças, sem buraco e sem peça por cima de outra, é fazer uma tesselação (também chamada de ladrilhamento). Piso de cerâmica quadrado, piso sextavado de calçada e de garagem e o favo de mel das abelhas são tesselações.
De onde vêm esses ângulos?
Escolha um canto do pentágono e ligue esse canto a todos os outros. O pentágono fica dividido em 3 triângulos. Os ângulos de cada triângulo somam 180°, então os 5 cantos do pentágono somam 3 × 180° = 540°. Como os cantos são iguais, cada um tem 540° ÷ 5 = 108°.
Um polígono de lados sempre se divide em triângulos desse jeito. Então o ângulo de cada canto é:
| Forma | Triângulos | Soma | Cada canto |
|---|---|---|---|
| Triângulo | 1 | 180° | 60° |
| Quadrado | 2 | 360° | 90° |
| Pentágono | 3 | 540° | 108° |
| Hexágono | 4 | 720° | 120° |
| Octógono | 6 | 1.080° | 135° |
Para o professor
Objetivo
Ao final, o aluno consegue dizer se um polígono regular, ou uma combinação deles, cobre o chão sozinho, verificando se os ângulos internos que se encontram num ponto somam exatamente 360°. A ideia é a mesma de dividir um número por um divisor dele: sem resto, sem buraco.
Pré-requisitos
Ângulo em graus e a volta de 360°, multiplicação e divisão com resto, e o nome dos polígonos. A fórmula do ângulo interno não é pré-requisito: o ODA mostra o ângulo de cada peça e explica a fórmula depois, num bloco opcional.
Como usar em aula
Em 20 a 25 minutos. Projete o ODA e leia a pergunta do topo. Antes de liberar, pergunte quantos pentágonos fecham a volta e conte quantos alunos dizem 3 ou 4. Deixe a turma testar as cinco formas em duplas (10 minutos): o ODA pede o palpite de cada forma antes da primeira peça. Circule perguntando quanto falta depois de três pentágonos. Junte a turma e preencha no quadro a tabela "forma, ângulo, quantas cabem, quanto sobra", comparando com a divisão 360 ÷ ângulo. Leia a explicação junto. Termine com o desafio das duas formas (8 minutos) e peça que cada dupla escreva a conta que fechou a volta. Para turmas de ensino médio, use o bloco "De onde vêm esses ângulos?" e a pergunta do polígono de 12 lados.
Erros comuns
Achar que todo polígono regular cobre o chão, porque o quadrado e o hexágono cobrem: aparece nos palpites, quando o aluno aposta um número para o pentágono e o octógono. Achar que nenhum pentágono cobre o chão: a explicação mostra a casinha, um pentágono não regular que cobre. Achar que "quase fecha" serve: o aluno para nos três pentágonos e diz que cobre. Pergunte qual peça cabe num buraco de 36°. Achar que mais lados é sempre pior (o hexágono funciona e o pentágono não): peça que compare os ângulos na tabela em vez dos lados. No desafio, achar que somar 360° num ponto resolve: triângulo, triângulo, hexágono, hexágono, nessa ordem, fecha a volta, mas não dá para repetir essa mesma ordem em todos os pontos do chão. O ODA marca o ponto vizinho onde as peças não encaixam e diz quanto falta ali. A ordem triângulo, hexágono, triângulo, hexágono funciona.
Perguntas para discussão
- Por que 3 pentágonos deixam buraco, se 3 hexágonos fecham a volta?
- Onde você já viu um chão ou uma parede coberta de hexágonos? E de octógonos com quadrados?
- Por que as abelhas fazem o favo com hexágonos, e não com triângulos ou quadrados, se os três cobrem o plano?
- A casinha cobre o chão e o pentágono regular não. O que muda nos cantos?
- Por que nenhum polígono regular com mais de 6 lados cobre o chão sozinho?
Baseado em Contemporary Mathematics, OpenStax, seção 10.5, sob licença CC BY-NC-SA 4.0. Este ODA está sob a mesma licença. Acesse o livro gratuitamente em openstax.org.