O leitor de ingressos que acerta 95%
Um leitor que acerta 95% barrou um ingresso. Qual a probabilidade de ele ser falso?
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Cada bolinha é uma pessoa da fila: 1.000 ao todo.
Registre seu palpite no painel para ver quem tem ingresso falso e quem foi barrado.
ingresso verdadeiro ingresso falso com moldura: barrado pelo leitor
Ver a fila em tabela
| Ingresso | Barrado | Liberado | Total |
|---|---|---|---|
| Falso | |||
| Verdadeiro | |||
| Total | 1.000 |
Seu palpite
No show de hoje, 20 em cada 1.000 ingressos são falsos. O leitor da catraca acerta 95% das vezes: barra 95 de cada 100 ingressos falsos e libera 95 de cada 100 verdadeiros.
O leitor barrou um ingresso. Qual a probabilidade de ele ser falso?
Conte os barrados
Cada triângulo laranja é uma pessoa com ingresso falso. Cada moldura é uma pessoa que o leitor barrou. Toque em Agrupar a fila, embaixo da grade, para juntar as barradas no começo.
Mude o show: os falsos
O leitor continua acertando 95%, mas agora o show tem mais ingressos falsos: 500 em cada 1.000, em vez de 20.
Agora deixe Acerto do leitor em 95% e leve Falsos em 1.000 até 500, embaixo da fila.
Mude o show: o acerto
Volte Falsos em 1.000 para 1 e suba Acerto do leitor de 95% até 99%. Depois compare com o que você viu na tarefa 3.
Desafio
Num festival, 100 em cada 1.000 ingressos são falsos, e o leitor acerta 90%. Um ingresso foi barrado. Qual a probabilidade de ele ser falso? Faça a conta e registre seu palpite antes de mexer nos controles.
Se ainda não leu, leia antes Por que deu tão pouco, logo abaixo.
Registre seu palpite primeiro. Até lá, os números da fila ficam escondidos.
Desafio extra
Agora o leitor acerta 99%. Qual é o menor número de falsos em 1.000 para que pelo menos metade dos barrados tenha ingresso falso?
Por que deu tão pouco
A explicação abre quando você terminar as tarefas 2, 3 e 4, para não contar as respostas antes.
Na fila de 1.000 pessoas, só 20 tinham ingresso falso, e o leitor barrou 19 delas (95% de 20). Os outros 980 ingressos eram verdadeiros, e o leitor erra 5% deles: barrou 49 pessoas que não tinham feito nada de errado. Foram 68 barrados, e só 19 com ingresso falso.
Os 95% respondem outra pergunta: entre os ingressos falsos, quantos o leitor barra? Na catraca, a pergunta é a inversa: entre os barrados, quantos são falsos? Quando o ingresso falso é raro, os poucos erros do leitor sobre a multidão de verdadeiros somam mais gente que os acertos sobre os poucos falsos.
Uma probabilidade calculada só dentro de um grupo (aqui, só entre os barrados) se chama probabilidade condicional. O exame de uma doença rara tem o mesmo problema: quanto mais rara a doença, maior a parte dos resultados positivos que vem de gente saudável.
Para o professor
Objetivo
Ao final, o aluno consegue explicar, contando numa população de 1.000, por que um leitor que acerta 95% pode errar a maioria das pessoas que barra quando o ingresso falso é raro. É a ideia de probabilidade condicional (e o efeito da taxa-base) sem fórmula de Bayes: tudo é contagem de pessoas.
Pré-requisitos
Porcentagem de um número, razão do tipo "19 em 68" convertida em porcentagem e a noção de probabilidade como casos que interessam divididos pelos casos possíveis. Não precisa ter visto árvore de probabilidade nem regra do produto.
Como usar em aula
Uns 25 minutos. As tarefas ficam no painel ao lado da fila, uma por vez. Projete o cabeçalho e a tarefa 1 e peça um palpite de cada aluno, em voz alta ou num papel (5 minutos). Anote no quadro quantos disseram 95%. Registre um palpite (ou toque em Não sei) e deixe a turma fazer a tarefa 2, contar os barrados, primeiro com a fila espalhada, depois agrupada (5 minutos). Compare o 28% com os palpites do quadro. Em duplas, a turma faz as tarefas 3 e 4 (Mude o show): aposta se a probabilidade sobe, desce ou fica igual com 500 falsos antes de mexer, e depois responde qual controle mexeu mais (5 minutos). A explicação abaixo da simulação abre depois das tarefas 2 a 4; leia junto com a turma e peça o desafio (tarefa 5) individual, com a conta no caderno antes de registrar o palpite; os números da fila só aparecem depois do registro (10 minutos). O desafio extra, depois da tarefa 5, fica para quem terminar antes ou para o ensino médio.
O caso inicial (20 falsos, 95%) e o desafio (100 falsos, 90%) dão pessoas inteiras. Muitas outras combinações dos controles não dão: com 1 falso e 99%, a conta exata é 0,99 falso barrado e 9,99 verdadeiros barrados. Nesses casos a fila e a tabela arredondam para pessoas inteiras, os números aparecem com "cerca de", uma nota mostra a conta exata, e a probabilidade vem sempre da conta exata (9%, e não os 9,1% de 1 em 11). Se um aluno perceber, é uma boa conversa: numa fila de 100.000 pessoas a conta fecharia sem arredondar.
Erros comuns
Responder 95% na abertura: é o erro esperado, e o ODA guarda o palpite para a comparação. Inverter a pergunta, tratando "entre os falsos, quantos são barrados" como "entre os barrados, quantos são falsos": aparece como resposta 90% no desafio, e o feedback aponta isso. Ignorar a raridade e achar que só o acerto importa: o aluno que está nele diz que "o jeito é fazer um leitor melhor"; a tarefa 4 mostra que, com 1 falso em 1.000, nem 99% resolve. Contar só um tipo de barrado: o feedback da contagem diz qual faltou.
Perguntas para discussão
- Se o leitor barrou você, o que a organização do show deveria fazer antes de tirar alguém da fila?
- Por que um leitor que acerta 95% parece ótimo para quem vende o leitor e ruim para quem foi barrado por engano?
- Num show em que metade dos ingressos é falsa, o leitor de 95% fica bom? Por quê?
- O livro conta que, na Segunda Guerra, os militares queriam blindar as partes dos aviões que voltavam com mais furos, e o matemático Abraham Wald disse para blindar as outras. Que pergunta "invertida" eles estavam fazendo?
- Que outros alarmes você conhece que disparam muito mais por engano do que de verdade?
Baseado em Contemporary Mathematics, OpenStax, seção 7.9, sob licença CC BY-NC-SA 4.0. Este ODA está sob a mesma licença. Acesse o livro gratuitamente em openstax.org.