Juros sobre juros
Lia e Davi guardaram R$ 1.000,00 cada um, a 1% ao mês: Lia ganha todo mês 1% dos R$ 1.000,00 do começo, e Davi ganha 1% do saldo que tem naquele mês. Depois de 5 anos, a diferença entre os dois vai ser grande ou pequena?
Simulação
Saldo no mês escolhido
Faça seu palpite primeiro, na tarefa 1. Os meses andam depois que você registrar.
Saldo mês a mês
Seu palpite
A 1% ao mês, Lia ganha sempre 1% dos R$ 1.000,00 do começo, e Davi ganha 1% do saldo do mês.
Toque em Próxima: agora a taxa sobe.
A 5% ao mês
Agora imagine os dois a 5% ao mês. Lia chega ao mês 120 com R$ 7.000,00.
Depois, ponha Taxa ao mês em 5% e Meses em 120.
Faça seu palpite primeiro. O botão Conferir só funciona depois que você tocar em Registrar meu palpite ou em Não sei.
Leia O que está acontecendo, logo abaixo, e depois toque em Próxima.
Quando o dinheiro dobra
Em quantos meses o dinheiro de Davi dobra, ou seja, chega a R$ 2.000,00? Descubra com a simulação: mude a taxa e procure o primeiro mês em que o saldo de Davi passa de R$ 2.000,00.
Você achou os três. Agora multiplique a taxa pelos meses:
| Taxa ao mês | Meses | Taxa × meses |
|---|---|---|
| 1% | 70 | 70 |
| 2% | 36 | 72 |
| 3% | 24 | 72 |
Essa é a regra do 72: a juros compostos, 72 ÷ taxa ao mês dá, mais ou menos, quantos meses o dinheiro leva para dobrar. É uma conta aproximada, que funciona bem para taxas pequenas. Compare com Lia: a 1% ao mês, ela só chega a R$ 2.000,00 no mês 100.
Mais um
Use a regra do 72 para prever: a 4% ao mês, em quantos meses o dinheiro de Davi dobra? Depois confira na simulação.
Tabela mês a mês
| Mês | Lia | Lia ganhou | Davi | Davi ganhou |
|---|
O que está acontecendo
Lia recebe juros simples: os juros de cada mês são calculados sempre sobre o valor do começo. A 1% ao mês, ela ganha R$ 10,00 todo mês, do primeiro ao último. Davi recebe juros compostos: os juros de cada mês são calculados sobre o saldo daquele mês. No 1º mês ele também ganha R$ 10,00. No 2º, ganha 1% de R$ 1.010,00, que dá R$ 10,10.
Aqueles 10 centavos a mais são juros sobre juros: juros que Davi ganha em cima de juros que já tinha ganhado. Todo mês o saldo dele é maior, então o 1% dele também é maior. No começo isso dá centavos. No mês 120, ele já ganha R$ 32,68 por mês, e Lia continua nos R$ 10,00. Por isso a curva de Davi vai ficando mais inclinada, e a reta de Lia tem sempre a mesma inclinação.
As duas regras, escritas como conta. Aqui é o valor guardado no começo, é a taxa ao mês em número decimal (1% é 0,01), é o número de meses e é o saldo no fim. Nos livros, se chama capital e , montante.
Lia:
Davi:
A potência é o que a simulação fez mês a mês: multiplicar o saldo por 1,01, 120 vezes, dá , 230% a mais que no começo. Somar 1% 120 vezes daria só os 120% de Lia. Poupança, CDB e também a dívida do cartão de crédito funcionam com juros compostos. As taxas usadas aqui são só exemplos para fazer conta.
Para o professor
Objetivo
Ao final, o aluno consegue explicar por que um valor a juros compostos se afasta cada vez mais rápido do mesmo valor a juros simples, usando a ideia de que os juros de cada mês são calculados sobre o saldo, que já inclui juros anteriores. A fórmula aparece como resumo do que ele viu; o foco é o mecanismo, mês a mês.
Pré-requisitos
Porcentagem de um valor e aumentos sucessivos (EF09MA05). Leitura de gráfico de linha. Potência com expoente natural ajuda a ler a fórmula, mas não é necessária para usar o ODA.
Como usar em aula
Uns 25 minutos. Projete a tarefa 1 do painel e peça a cada aluno um valor no caderno, antes de qualquer conta; registre a mediana da turma como palpite, porque os meses só andam depois dele (3 min). Arraste o controle "Meses" até o mês 12 e pare ali (com o controle selecionado, as setas do teclado andam um mês por vez): pergunte quanto a diferença de R$ 6,83 vai ser no mês 60 se crescer sempre igual (5 × R$ 6,83, uns R$ 34). Depois leve o mesmo controle até o mês 60. Na tarefa 2, a turma vota numa das quatro faixas para 5% ao mês no mês 120 antes de mudar a taxa (5 min). Peça que alguém leia em voz alta a frase "neste mês, Davi ganhou..." em três meses diferentes e explique por que o número muda (5 min). Depois leia com a turma a explicação e deixe os alunos, em duplas, fazerem o desafio da tarefa 3 no celular ou no computador (10 min). Feche com a pergunta da última coluna da tabela e a regra do 72.
Erros comuns
Somar porcentagens: o aluno diz que 1% ao mês por 60 meses dá 60% também para Davi. Aparece como palpite de diferença zero na tarefa 1 (R$ 1.600,00 para os dois). Julgar pelo começo: nos primeiros meses a diferença é de centavos, e ele conclui que juros compostos não fazem diferença; aparece em palpites abaixo de R$ 50 na tarefa 1 e na faixa "menos de R$ 10.000" na tarefa 2. Calcular os juros de Davi sempre sobre R$ 1.000,00: aparece quando ele espera que "Davi ganhou" seja R$ 10,00 em todo mês. No desafio, responder 100 meses a 1% é usar a regra de Lia para Davi.
Perguntas para discussão
- Por que nos primeiros meses quase não há diferença entre Lia e Davi?
- Se a taxa dobra, de 1% para 2%, o tempo para dobrar o dinheiro cai pela metade? Por que a resposta é "quase"?
- A dívida do cartão de crédito também cresce a juros compostos. O que a simulação diz sobre deixar uma dívida dessas para depois?
- Por que a regra do 72 não serve para Lia?
Baseado em Contemporary Mathematics, OpenStax, seções 6.3 e 6.4, sob licença CC BY-NC-SA 4.0. Este ODA está sob a mesma licença. Acesse o livro gratuitamente em openstax.org.