← Praticando Matemática Progressões e potências · seção 3.11

Dobrar a folha até a Lua

Uma folha de papel tem 0,1 mm de espessura. Quantas vezes você teria que dobrá-la para a pilha passar da Lua?

Dobre a folha

Faça seu palpite primeiro. O Dobrar abre quando você registrar os palpites na tarefa 1.

Folha sem dobra, com 0,1 mm de espessura.

Seus palpites

Antes de dobrar, chute quantas dobras são necessárias para a pilha passar de cada marco. Não precisa acertar.

Sem ideia de algum? Deixe em branco: vale como "não sei".

Dobre até a Lua

Toque em Dobrar até a pilha passar da Lua. A tabela Marcos, abaixo da simulação, guarda a dobra de cada marco.

E o Sol?

O Sol fica a cerca de 149.600.000 km da Terra. Quantas dobras seriam necessárias para a pilha passar do Sol? Calcule antes: o Dobrar só passa da Lua depois que você responder.

Depois de responder, confira na simulação: toque em Dobrar até a pilha passar do Sol.

Números da pilha

Dobras0
Espessura0,1 mm
Camadas de papel1
A conta

Marcos

Cada marco, sua altura ou distância, seu palpite e a dobra em que a pilha passou dele
MarcoPalpiteDobra real
Todas as dobras em tabela
Camadas e espessura da pilha em cada dobra, da dobra 0 até a atual
DobrasCamadasEspessura

O que está acontecendo

A espessura foi 0,1 mm, 0,2 mm, 0,4 mm, 0,8 mm, 1,6 mm... Cada número é o anterior vezes 2. Uma sequência assim, em que cada número é o anterior vezes o mesmo valor, é uma progressão geométrica (PG). O valor que multiplica é a razão; aqui, a razão é 2.

Depois de n dobras, você multiplicou por 2 um total de n vezes. Por isso a conta é espessura=0,1 mm×2n

O último parágrafo aparece quando você fizer a tarefa 2.

Para o professor

Objetivo

Ao final, o aluno consegue explicar por que poucas dobras bastam para uma folha passar de distâncias enormes, calculando a espessura depois de n dobras como 0,1 mm × 2ⁿ. É a porta de entrada para progressão geométrica e crescimento exponencial, sem a fórmula do termo geral.

Pré-requisitos

Potência com expoente natural, multiplicação de decimais e conversão entre mm, cm, m e km. Notação científica ajuda, mas é opcional.

Como usar em aula

Em 20 a 25 minutos. Projete o ODA e leia a pergunta de abertura. Antes de qualquer clique, peça que cada aluno escreva no caderno o palpite para a Lua; anote no quadro o menor e o maior (é comum aparecer de 1.000 a 1 milhão). Preencha os palpites da turma e dobre junto com a sala, devagar, até passar da pessoa e do prédio. Pare na 8ª dobra e leia o aviso da folha de verdade; se houver papel, peça que tentem dobrar. Depois deixe as duplas seguirem sozinhas até a Lua e discutirem a diferença entre palpite e resultado na tabela Marcos. Leia com a turma "O que está acontecendo" e peça que as duplas resolvam o desafio do Sol no papel: o Dobrar só passa da Lua depois que a dupla responde.

Erros comuns

O mais frequente é achar que o número de dobras cresce na mesma proporção da distância: o aluno que acerta 22 para o Pão de Açúcar e chuta algumas centenas para o Everest está nesse erro (são 27). O erro volta na tarefa 2: quem responde algumas centenas de dobras entre a Estação Espacial e a Lua está dividindo as distâncias (são umas 960 vezes) em vez de contar quantas vezes dobrou. Quem responde 32 ou 42 leu a dobra de um marco, não a diferença. No Sol, quem responde perto de 42 + 390 está somando o fator em vez de procurar a potência de 2 que passa dele.

Perguntas para discussão

Baseado em Contemporary Mathematics, OpenStax, seção 3.11 (com apoio das seções 3.8 e 3.9), sob licença CC BY-NC-SA 4.0. Este ODA está sob a mesma licença. Acesse o livro gratuitamente em openstax.org.